完全正則空間・一様構造・距離化：自己完結的・網羅的詳説

証明
$[0, 1]$ 内の二進有理数の集合 $D = \{ k/2^n \mid n \in \mathbb{N}, 0 \le k \le 2^n \}$ を考える。$D$ は $[0, 1]$ で稠密である。 ステップ 1：開集合族 $\{U_r\}_{r \in D}$ の構成 $r \in D$ に対し、開集合 $U_r$ を「$r < s \implies \overline{U_r} \subseteq U_s$」となるように数学的帰納法で構成する。 1. まず $U_1 = X \setminus B$ とおく。$A \cap B = \emptyset$ より $A \subseteq U_1$ である。 2. 正規性により、閉集合 $A$ と開集合 $U_1$ に対し、$A \subseteq U_0 \subseteq \overline{U_0} \subseteq U_1$ を満たす開集合 $U_0$ が存在する。 3. 次に $r = 1/2$ に対し、$\overline{U_0} \subseteq U_1$ であるから、正規性より $\overline{U_0} \subseteq U_{1/2} \subseteq \overline{U_{1/2}} \subseteq U_1$ となる $U_{1/2}$ が存在する。 4. 以下、分母が $2^n$ の二進有理数に対して順次 $U_r$ を決定していく。既に分母が $2^{n-1}$ 以下のすべての $r$ に対して $U_r$ が定義されており、条件を満たしているとする。$r = (2k+1)/2^n$ に対し、$s = 2k/2^n$ と $t = (2k+2)/2^n$ は分母が $2^{n-1}$ 以下であり、$\overline{U_s} \subseteq U_t$ を満たしている。正規性により $\overline{U_s} \subseteq U_r \subseteq \overline{U_r} \subseteq U_t$ を満たす $U_r$ をとる。これにより、すべての $r \in D$ に対して $U_r$ が定まる。 ステップ 2：関数の定義 $f: X \to [0, 1]$ を次のように定義する。 $$ f(x) = \begin{cases} \inf \{ r \in D \mid x \in U_r \} & (x \in U_1) \\ 1 & (x \notin U_1) \end{cases} $$ 明らかに、$x \in A$ ならば $x \in U_0$ なので $f(x)=0$ である。また $x \in B$ ならば $x \notin U_1$ なので $f(x)=1$ である。 ステップ 3：連続性の証明 $f$ の連続性を示すには、$f^{-1}([0, a))$ と $f^{-1}((b, 1])$ がすべての $a, b \in (0, 1)$ に対して開集合であることを示せばよい。 1. $x \in f^{-1}([0, a)) \iff f(x) < a \iff \exists r \in D, r < a, x \in U_r$。 したがって $f^{-1}([0, a)) = \bigcup_{r < a} U_r$ である。これは開集合の和集合なので開集合である。 2. $x \in f^{-1}((b, 1]) \iff f(x) > b$。 ここで、$f(x) > b \iff \exists s \in D, s > b, x \notin \overline{U_s}$ を示す。 (i) ある $s > b$ で $x \notin \overline{U_s}$ ならば、任意の $r \in D$ で $r \le s$ ならば $x \notin U_r$。よって $\inf \{r \mid x \in U_r\} \ge s > b$。 (ii) 逆に $f(x) > b$ ならば、稠密性より $b < s < s' < f(x)$ なる $s, s' \in D$ がとれる。$f(x) > s'$ より $x \notin U_{s'}$。$\overline{U_s} \subseteq U_{s'}$ なので $x \notin \overline{U_s}$。 ゆえに $f^{-1}((b, 1]) = \bigcup_{s > b} (X \setminus \overline{U_s})$ である。これは閉集合の補集合の和集合なので開集合である。 以上より $f$ は連続である。 ■

証明
1. $X$ に無限遠点 $\infty$ を加えた集合 $X^* = X \cup \{\infty\}$ に一点コンパクト化の位相を導入する。 2. $X$ が局所コンパクトHausdorffであれば、$X^*$ はコンパクトHausdorff空間になる。 3. 事実：コンパクトHausdorff空間は正規である。 （証明の概略：Hausdorff性により点と点を分離でき、コンパクト性により点と閉集合の分離、閉集合と閉集合の分離へと有限被覆の議論で持ち上げられる。） 4. ウリゾーンの補題より、$X^*$ は正規空間であるから完全正則である。 5. 完全正則性の定義において、連続関数 $f: X^* \to [0, 1]$ の $X$ への制限は $X$ 上の連続関数である。 6. $X$ の閉集合 $F$ と点 $x \notin F$ に対し、$F \cup \{\infty\}$ は $X^*$ の閉集合である。 7. $X^*$ の完全正則性より、$x$ と $F \cup \{\infty\}$ を分離する関数 $f: X^* \to [0, 1]$ が存在し、その制限により $X$ での分離が実現される。 ■

証明
$f$ が一様連続であることを示すには、任意の $\epsilon > 0$ に対し、近縁 $V \in \mathcal{U}_F$ が存在して、$(x, y) \in V \implies |f(x) - f(y)| < \epsilon$ となることを示せばよい。 1. $p_f(x, y) = |f(x) - f(y)|$ を定義する。 2. $f$ が連続であるため、$p_f$ は連続な擬距離である。 3. 微細一様構造の定義により、$\mathcal{P}_{all}$ は $p_f$ を含んでいる。 4. よって $V = \{ (x, y) \mid p_f(x, y) < \epsilon \}$ は $\mathcal{U}_F$ の近縁である。 5. この $V$ を用いれば、$(x, y) \in V \implies |f(x) - f(y)| < \epsilon$ は定義から自明である。 ■

証明
$\mathcal{F}$ を $X$ 上のコーシーフィルターとする。 1. 空間がコンパクトであるため、$X$ 上の任意のフィルター $\mathcal{F}$ は少なくとも一つの集積点 $x$ を持つ。 2. 集積点の定義より、$x$ の任意の近傍 $N$ に対して、任意の $F \in \mathcal{F}$ は $N \cap F \neq \emptyset$ を満たす。 3. $\mathcal{F}$ が $x$ に収束することを示す。すなわち、任意の近縁 $V \in \mathcal{U}$ に対して $V(x) \in \mathcal{F}$ を示せばよい。 4. 近縁の公理より、ある対称な近縁 $W$ ($W=W^{-1}$) が存在して $W \circ W \subseteq V$ を満たす。 5. $\mathcal{F}$ はコーシーフィルターなので、ある $F_0 \in \mathcal{F}$ が存在して $F_0 \times F_0 \subseteq W$ となる。 6. $x$ は集積点なので、$W(x) \cap F_0 \neq \emptyset$。よってある $y \in F_0$ が存在して $(x, y) \in W$。対称性より $(y, x) \in W$。 7. 任意の $z \in F_0$ をとる。$(z, y) \in F_0 \times F_0 \subseteq W$ である。 8. $(z, y) \in W$ かつ $(y, x) \in W$ より、$(z, x) \in W \circ W \subseteq V$。 9. すなわち $z \in V(x)$ である。よって $F_0 \subseteq V(x)$。 10. $F_0 \in \mathcal{F}$ なので、フィルターの定義より $V(x) \in \mathcal{F}$。 ゆえに $\mathcal{F} \to x$。 ■

証明
$\mathcal{U}$ を $X$ の位相を誘導する任意の一様構造、$\mathcal{U}_C$ を $\Delta$ の開近傍フィルターとする。 1. $\mathcal{U} \subseteq \mathcal{U}_C$ の証明 $V \in \mathcal{U}$ とすると、ある開近縁 $V^\circ \in \mathcal{U}$ が存在して $\Delta \subseteq V^\circ \subseteq V$ となる（一様空間の基本性質）。$V^\circ$ は $\Delta$ の開近傍なので $V \in \mathcal{U}_C$。 2. $\mathcal{U}_C \subseteq \mathcal{U}$ の証明 $W$ を $\Delta$ の開近傍とする。任意の $x \in X$ に対し、$(x,x) \in W$ であり $W$ は開集合なので、ある開近傍 $N_x$ が存在して $N_x \times N_x \subseteq W$ となる。 一様構造 $\mathcal{U}$ が位相を誘導することから、ある対称な近縁 $V_x \in \mathcal{U}$ が存在して $V_x(x) \subseteq N_x$。さらに $U_x \circ U_x \subseteq V_x$ となる対称な近縁 $U_x \in \mathcal{U}$ をとる。 $X$ のコンパクト性より、被覆 $\{U_x(x) \mid x \in X\}$ から有限部分被覆 $\{U_{x_i}(x_i) \mid i=1, \dots, n\}$ を選べる。 $U = \bigcap U_{x_i} \in \mathcal{U}$ とおき、$U \subseteq W$ を示す。 任意の $(y, z) \in U$ をとる。ある $i$ で $y \in U_{x_i}(x_i)$。よって $(x_i, y) \in U_{x_i}$。 また $(y, z) \in U \subseteq U_{x_i}$。よって $(x_i, z) \in U_{x_i} \circ U_{x_i} \subseteq V_{x_i}$。 したがって $y, z \in V_{x_i}(x_i) \subseteq N_{x_i}$。ゆえに $(y, z) \in N_{x_i} \times N_{x_i} \subseteq W$。 これより $W \in \mathcal{U}$。 ■

証明
各 $V_n$ に対して、$f(x, y)$ を次のように定義する。 $$ f(x, y) = \begin{cases} 2^{-n} & (x, y) \in V_{n-1} \setminus V_n \\ 0 & (x, y) \in \bigcap V_n \end{cases} $$ この $f$ は対称であるが、三角不等式を満たさない。そこで、任意の点列による「鎖」の長さの最小値として距離 $d$ を定義する。 $$ d(x, y) = \inf \left\{ \sum_{i=0}^{k-1} f(z_i, z_{i+1}) \mid z_0 = x, z_k = y, z_i \in X \right\} $$ この $d$ は三角不等式を明らかに満たす。 重要なのは $d$ が一様構造を誘導することの証明である。 主張： $\frac{1}{2} f(x, y) \le d(x, y) \le f(x, y)$ (この左側の不等式の証明には、鎖の長さに関する帰納法を用いる。$V_{n+1}^3 \subseteq V_n$ という条件が、細切れの鎖を結合しても長さを一定以下に抑えることを保証する。) この不等式により、$d(x, y) < 2^{-(n+1)}$ ならば $f(x, y) < 2^{-n}$、すなわち $(x, y) \in V_n$ が従い、距離が一様構造と両立することが示される。 ■

証明
1. 基底の可算性： $X$ の開基 $\{B_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ をとる。 2. 正規性による関数の抽出： $\overline{B_n} \subseteq B_m$ となるペア $(n, m)$ すべてに対し、ウリゾーンの補題より $f_{n,m}: X \to [0, 1]$ を $f_{n,m}(\overline{B_n})=0, f_{n,m}(X \setminus B_m)=1$ となるようにとる。この関数の族 $\{f_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ は可算個である。 3. 一様構造の構成： 各 $f_k$ に対して、連続な擬距離 $p_k(x, y) = |f_k(x) - f_k(y)|$ を定義する。 4. 基本近縁系の可算性： $\mathcal{U}$ を $p_k$ の有限族から生成される一様構造とする。基本近縁系は $V(k, \epsilon) = \{ (x, y) \mid \sum_{j=1}^k \frac{1}{2^j} p_j(x, y) < \epsilon \}$ の形となり、これは可算基底を持つ。 5. 位相の不変性： この一様構造が元の位相 $\tau$ を誘導することを示す。 (i) $p_k$ は連続なので、一様位相は $\tau$ より粗い。 (ii) 逆に $x \in U \in \tau$ に対し、第二可算性と正規性よりある $k$ が存在して $x \in \overline{B_n} \subseteq B_m \subseteq U$。このとき $f_k$ が $x$ と $X \setminus U$ を分離するので、$x$ の一様近傍はある $\epsilon$ で $U$ に含まれる。 6. 距離化可能補題の適用： 一様構造が可算基底を持ち、$T_0$（$X$ が Hausdorff なので $\cap V_n = \Delta$）であれば、補題 8.1 により距離化可能である。 ■